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sabato 12 dicembre 2015

Tabelle immaginarie

La moda delle liste affascina questo nostro bizzarro secolo e, in particolare, sembra affliggere il mondo già tormentato della scrittura. Liste su liste di consigli di scrittori famosi, elenchi di parole da evitare, matrici di pianificazione della storia e dei suoi elementi, complessi schemi narrativi da seguire. 
Il post con il quale il Coniglio spera di fare in tempo a partecipare al carnevale matematico numero 93, da Paolo Alessandrini, gira un po' intorno a questa mania, osservando con poca competenza la matematica che c'è dietro alle tabelle, reali e immaginarie, che ci affaticano ogni giorno. 

Tabelle a più dimensioni?

Elenchi e tabelle sono una costante presenza nella vita organizzata moderna. Il confronto con todo list, elenchi, orari scolastici, turni di lavoro, calendari e schemi di riferimento tabulari semplici e complessi, fa parte dell'ordinaria amministrazione di quasi tutti i neuroni che ci portiamo sotto i capelli (gli uni e gli altri, chi ce li ha).
Eppure questi oggetti logici di semplice e intuitivo utilizzo rappresentano un terreno speculativo fertile e accessibile anche ai poveri Conigli allevati da medici, come è il caso nostro. D'altronde c'è dell'umile, silenziosa e versatile materia matematica quasi in ogni pensiero, ed è una delle cose che rendono interessante la vita, quasi sempre, e i pensieri umani, a volte.
Ma andiamo a incominciare una veloce e blanda trattazione sistematica della questione, che risulterà di sicuro incompleta, approssimativa ma - forse e si spera - spunto per migliori e ulteriori riflessioni.

Liste semplici
Dimensione: 1
Numeri: naturali
Una lista è un insieme ordinato di oggetti. È il tipo più semplice di tabella, che in matematica corrisponde ad un vettore e, nel mondo dei sensi, ad un foglio di carta con dati in colonna. Usiamo liste continuamente sia nella vita concreta sia nel nostro modo di pensare; per i nostri scopi, la consideriamo una tabella di dimensione 1.
Si può rappresentare come un elenco di tutti gli elementi in fila, seguendo un criterio logico o casuale, e pertanto ogni oggetto avrà un posto corrispondente al valore assunto da una unica variabile, che possiamo chiamare X. Quindi la semplice lista dei nomi dei sette nani sarà composta dagli elementi X1, X2, X3 (...) X7
La struttura è quella di una colonna con più righe (nel disegno ho aggiunto una colonna che indica il valore della variabile:
   
         1 Gognolo         2 Mammolo         3 Pisolo         4 Eolo         5 Cucciolo         6 Dotto         7 Brontolo

L'ordine degli elementi all'interno della lista è casuale, in questo caso, ma potrebbe essere legato a qualsiasi regola logica: alfabetico, alfabetico inverso, secondo la lunghezza del nome, o al contrario, o secondo qualunque altro criterio, anche il più bizzarro. Ma non è questo il punto; siamo qui per parlare di tabelle, non di come riempirle. Lasciamo dunque in pace i nani e consideriamo un altro caso di lista (tabella, abbiamo detto, che chiamiamo di dimensione 1)

Dimensione: 1
Numeri: razionali
il tipo più semplice di tabella unidimenisonali ha un solo ordine di elementi, in modo che la variabile possa assumere soltanto valori naturali. Ma può esistere un altro modo di organizzare gerarchicamente gli elementi, costruendo quella che si chiama comunemente “lista ad albero”, o treelist, molto utilizzate ad esempio nei sistemi di “project management”.
Lo schema concettuale è organizzato, si diceva, in modo gerarchico; il che vuol dire che ogni elemento può avere dei sotto-elementi ad esso collegati: continuando con l’esempio del project management, ogni voce di progetto può avere associati dei sotto-progetti da completare.
Altro esempio molto comune di lista gerarchica è l’indice di un libro, diviso in capitoli, sottocapitoli, paragrafi, e così via.
Il modo di rappresentare le caselle di questa lista può richiedere comunque una sola variabile, purché questa assuma valori razionali:
Gli elementi X1 e X2, X3 saranno quindi intervallati dagli elementi del gruppo X1,1; X1,2; X1,3 e così via. Lo schema è questo (abbiamo scelto lo spaccato della vita di un qualunque coniglio padre di famiglia):

   1,00 fare la spesa
   1,01 banane
   1,02 mele
   1,03 pere
   1,04 fragole
   1,05 ciliegie
   1,06 pasta
   2,00 passare in lavanderia
   2,01 cappotto
   2,02 camicia
   3,00 fare benzina
   4,00 comprare le pizze
   4,01 margherita
   4,02 capricciosa
   4,03 2 quattro stagioni

Si vede che il numero di elementi di un sottogruppo può essere illimitato, basta scegliere un adeguato numero di cifre decimali dopo la virgola per elencarli (1,1 o 1,000001, per cominciare, daranno come risultato liste con sottogruppi di capienza diversa).

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Numeri: stringhe di interi
Questo sistema ha un limite: non permette di creare più ordini gerarchici, mentre invece esistono molti esempi concreti di liste concettuali in cui gli elementi sono organizzati in più livelli di sottogruppi. Pensiamo ad un libro che affronti un argomento qualunque, come le malattie infettive: il suo indice potrebbe prevedere:
- Malattie del bambino                                                              
       - malattie esantematiche
                   - rosolia
                   - scarlattina
                   - morbillo

Come rappresentare con una sola variabile questo tipo di organizzazione? Si può fare assegnando alla variabile una stringa composta di più numeri interi (l’esempio di sopra diventerebbe X1; X1.1; X1.2.1; X1.2.2; X1.2.3). Ma questa roba è poco elegante.

Dimensione: 1
Numeri: negativi
Ai confini del campo delle cose concrete, possiamo immaginare liste fatte da elementi che occupano posizioni positive e posizioni negative; non parlo di elenchi dove ci sono, ad esempio, quantità negative e quantità positive, come una lista di bilancio, ma di posizioni negative e positive. La lista risulterebbe identica a una di quelle precedenti ma la casella X-1, o X-1,002 oppure la stringa X-1.2.-3.4, sarebbe piuttosto difficile da rappresentare graficamente.
Concettualmente, la potremmo pensare come una specie di colonna ripiegata su sé stessa in cui alcune caselle si posizionano “dietro” a quelle positive corrispondenti, costituendone una sorta di immagine rovesciata. Così, dietro all’elemento X1 ci starebbe, nella casella X-1, un contenuto speculare o opposto, che esiste se e solo se la casella corrispondente è popolata.

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Numeri: reali (inclusi irrazionali)
Altra questione piuttosto bizzarra sarebbero le liste con una variabile che può assumere anche numeri irrazionali. Nelle liste lineari o in quelle “gerarchiche” avremmo, fra una casella e l’altra e fra un livello e l’altro, non solo una infinità di spazi possibili da riempire (cosa che si poteva già fare perché anche i numeri naturali e i numeri decimali sono infiniti), ma anche il rischio che una singola casella della lista non possa mai essere nominata perché il numero corrispondente non può essere espresso né come sequenza di cifre, né come rapporto fra interi; andrebbe un po’ meglio con gli algebrici (si può pensare con una certa chiarezza alla casella “radice di 2”, ma sarebbe un vero disastro con i trascendenti). Con una lista del genere, la giornata del Coniglio al supermercato rischierebbe di non solo di non finire mai, ma neppure di cominciare!


Tabelle bidimensionali

Dimensione: 2
Numeri: naturali
Torniamo nel regno del quotidiano. Abbiamo la vita piena di tabelle del tipo “MxN”, comunemente dette “matrici”, che adoperiamo per qualunque cosa, dagli orari scolastici ai turni di lavoro, dai comuni grafici alle tabelle di distanze fra città in fondo agli atlanti stradali che andavano di moda prima del GPS di serie su tutti i furbofoni.
Le matrici sono caratterizzate da una coppia di variabili, una che indica la posizione della cella nella riga (M) e una nella colonna (N).
Ehi, non vorrei essere l’insegnante di “materia D” all’ultima ora del sabato nell’esempio sottostante:






La casella che ospita la materia C nella seconda ora del mercoledì sarebbe quindi identificata dalla coppia di valori (M3, N2)

Dimensione: 2
Numeri: decimali e stringhe di interi
Se una delle due variabili può assumere le caratteristiche delle liste “gerarchiche”, avremmo delle tabelle un po’ più complicate, ma ancora molto comuni:



Nell’esempio sopra, la cella gialla avrebbe il codice M1,5; N1,2. La cella verde, M1,3; N3,1. La cella blu, M2,4; N3,1

Fra l’altro, il numero di gerarchie presenti nelle righe e nelle colonne corrisponde al numero di righe e colonne di intestazione: la cosa può essere gestita con una stringa di numeri esattamente come nel caso della tabella lineare (lista) con più sotto-livelli. Se ad esempio la gerarchia settimana / giorni dell’esempio sopra si arricchisse di ulteriori distinzioni, come anno/mese/settimana/giorno, avremmo una variabile M con righe come M1.11.3.5 (venerdì della terza settimana di novembre del primo anno) a cui abbinare tutte le gerarchie di N, ossia le varie colonne.

Dimensione: 2
Numeri: negativi e irrazionali
Torniamo alle cose bizzarre. Una tabella a due dimensioni che contenga posizioni negative assomiglia molto ad un foglio arrotolato su sé stesso, nel quali le celle negative vadano a coincidere con il “retro” delle corrispondenti positive. Immaginando che entrambe le variabili M ed N contengano posizioni negative significa addentrarsi in un mondo di origami logici e la cosa potrebbe diventare divertente.

L’idea che uno degli ordini gerarchici, di una o entrambe le variabili, possa essere descritto da numeri irrazionali apre anch’essa delle interessanti prospettive sulla morfologia che avrebbe la tabella corrispondente, assomigliando ad un piano da cui si eleva una iperbole con apice all’infinito in corrispondenza della cella il cui ordinale è irrazionale.

Tabelle tridimensionali

Dimensione: 3
Numeri: naturali
Proporre un esempio concreto di una tabella cubica è possibile; sarà sufficiente considerare un esempio preso dal mio lavoro, ossia il calendario di consegna di farmaci e materiali vari alle unità operative di un ospedale, realizzato sfruttando un sistema di trasporto meccanizzato automatico, che rifornisce i punti finali programmando determinate missioni di un numero fisso di carrelli a guida laser. La matrice di consegna M x N è realizzata con le UO in riga (M) e gli orari di consegna colonna (N); ci sono quindi sette matrici, una per ogni giorno della settimana. Il numero delle matrici stampate su vari fogli, però, in una tabella cubica sarebbero altrettante posizioni della terza variabile dimensionale, che chiamiamo “O” in continuità con le due precedenti. Per capirsi, se M sono le righe ed N le colonne, O sarebbero i “fogli” su cui sono stampate tabelle M x N da sovrapporre Se la costruissimo, avremmo un parallelepipedo con dentro tanti cassetti in corrispondenza delle “celle” dove inserire i dati.
In questo caso, avremmo parecchi spazi vuoti, perché i dati si generano solo quando una UO è servita da un carello (quindi a determinati orari di determinati giorni) ma non importa.
Ad esempio la Pediatria è rifornita il martedì e il giovedì sfruttando le missioni delle 9.00 e quella delle 15.00? Avremo quindi una cella M12 (posizione della riga della pediatria), N3 (le 9.00 sono la terza fascia di consegna, quindi la terza colonna) O4 (giovedì è il quarto giorno della settimana e quindi il suo calendario è stampato nel quarto foglio) che contiene come dato il numero di carrelli assegnati a questo servizio. Una cosa semplicissima, no? Nessuno costruisce tabelle 3D per il semplice motivo che è un macello scriverci dentro, ma è molto facile descriverle concettualmente usando le coordinate come abbiamo fatto fin qui; fra l’altro, questo sistema si applica benissimo alle tabelle N dimensionali con N > 3, come vedremo fra poco.


Dimensione: 3
Numeri: tutti gli altri
Chiaro che immaginarsi livelli gerarchici, stringhe di numeri e, ancora di più, numeri negativi o irrazionali applicati ad una tabella cubica richiede un bello sforzo di immaginazione.
La cosa più semplice è inserire dei livelli nelle righe e nelle colonne, operazione non più difficile di quella che abbiamo visto a proposito delle tabelle M x N; basterà utilizzare la stessa notazione e aggiungere la variabile O.
Più complicato, ma concettualmente identico, è gerarchizzare i fogli: se lo facciamo nella realtà, avremmo la necessità di inserire dei “separatori” in maniera perpendicolare al piano dove si intrecciano le righe e le colonne per distingue, nel nostro esempio, le varie settimane del mese nelle quali articolare e variare il calendario.

Numeri negativi: la questione diventa… quadrimensionale; si deve “piegare” il cubo per cui ad ogni cella venga a sovrapporsi la corrispondente negativa; ciò richiede uno spazio di manovra che non può essere a tre dimensioni, come per le matrici M x N è stato necessario “piegare” il foglio nello spazio 3D. Stiamo già lavorando, in pratica, con un tesseratto. Mi inquieta un po’ pensare al concetto di “giorno negativo”, per tornare al nostro esempio: spero che non mi tocchi essere di turno quando succederà!
I numeri irrazionali applicati allo spazio di una tabella cubica potrebbero generare bizzarre protrusioni di facce o, più correttamente, qualcosa di molto simile ad una riflessione fra due specchi contrapposti di un oggetto tridimensionale.

Tabelle N dimensionali
Progettare tabelle “logiche” (fisiche non credo che ci riesca!) con più di tre dimensioni significa vedere con gli occhi della mente qualcosa che non percepiremmo con i sensi. Nella realtà dei simboli è molto semplice: nella cella Ma, Nb, Oc si sono una serie di “cassetti” P(i) con i che va da 0 a infinito. Se la cella in questione fosse l’armadio di mia moglie, avrei risolto un problema.

Aumentare le dimensioni significherebbe incrementare ulteriormente le tipologie di “cassetti” di cui disporre: ma al di là del fantasticare su come sistemare le scarpe della consorte, questo esercizio mentale può produrre oggetti logici di utilità concreta. Ad esempio, prendiamo le tabelle cubiche delle nostre missioni di rifornimento e decidiamo di aggiungere una “dimensione” alle UO, gli orari e i giorni i consegna; per esempio, immaginiamo di gestire un treno di carrelli, che viaggiano insieme ma sono riempiti in maniera indipendente. Possiamo fare diverse tabelle cubiche, naturalmente, esattamente come nella piatta vita di tutti giorni ho fatto 7 tabelle MxN invece che costruire una tabella cubica. 
Ma qui siamo al Carnevale della matematica e vediamo di immaginare una tabella quadri-dimensionale nella quale la cella identificata dalla riga M12 (pediatria), dalla colonna N3 (ore 9) e dal “foglio” O4 (giovedì) ospita una “strisciata” della quarta dimensione dove sono rappresentati “P” vagoncini diversi da caricare o meno, ciascuno per il tipo di materiale che gli compete. Nella realtà questo avviene, anche se non è riportato nel calendario di consegna, perché all’interno dei carrelli veri che si usano per la logistica ci sono più scomparti.

E gli altri numeri?
Se volete immaginare tabelle “ipercubiche” con posizioni negative, sappiate che avete bisogno della quinta dimensione per ripiegarle su sé stesse; le cose peggiorano aumentando le dimensioni. Un lavoraccio già solo in 4D, ma il “carello negativo” potrebbe essere un eccezionale soluzione per la scomparsa dei rifiuti!
Gerarchizzare i livelli non è più difficile di quanto abbiamo fatto fino ad ora: basterà decidere come impostare le intestazioni di righe, colonne, fogli e, infine, vagoni, per avere tutti i “distinguo” che si desiderano (pediatria ala nord e ala sud; fasce di consegna suddivise in intervalli più brevi; giorni delle diverse settimane. E naturalmente, vagoni divisi in “parte alta” e “parte bassa”) In realtà, niente di problematico finché rimaniamo sui concetti. Avremo soltanto da etichettare celle chiamate M1,2;N2,4;O4,54;P2,1 oppure M1.1.23;N2.12.2;O4.33.1;P3.2.2.2
I numeri irrazionali qualche problemino rappresentativo lo creeranno, ma non preoccupatevi; a partire dalle tabelle 3D in avanti, non c’è modo di disegnare qualcosa del genere senza ricorrere ai fogli polidimensionali e quelli, per ora, il Coniglio non è mai riuscito a trovarli.

Per oggi ci fermiamo qui, ma ci sono ancora un paio di cosette interessanti da dire in proposito. Avete mai pensato, per esempio, cosa potremmo fare con una tabella frattale?